核紧空间的序列并与乘积可交换

我们证明，给定两个核紧空间序列 $$X_0 \hookrightarrow \dots \hookrightarrow X_n \hookrightarrow \dots \quad \text{和} \quad Y_0 \hookrightarrow \dots \hookrightarrow Y_n \hookrightarrow \dots$$ 具有连续单射转移映射，则乘积的并拓扑 $$\cup_n (X_n \times Y_n) = \left(\cup_n X_n\right) \times \left( \cup_n Y_n \right)$$ 等于并的乘积拓扑。