序列端点与粗空间的非标准无穷边界

本文是作者先前论文 [#Im20a] 的补遗。Miller 等人 [#MSM10] 引入了函子 $\sigma\colon\mathbf{pCoarse}\to\mathbf{Sets}$，其中 $\mathbf{pCoarse}$ 为带基点粗空间与粗映射的范畴。DeLyser 等人 [#DLT13] 引入了函子 $\varepsilon\colon\mathbf{pCoarse}\to\mathbf{Sets}$，并证明 $\varepsilon$ 在 $\mathbf{pMetr}$（可度量空间的完全子范畴）上与 $\sigma$ 一致。作者于 [#Ima20a] 借助非标准分析技术给出了函子 $\iota\colon\mathscr{C}\subseteq\mathbf{pCoarse}\to\mathbf{Sets}$，其中 $\mathscr{C}$ 为任意小型完全子范畴，以及自然变换 $\omega\colon\sigma\restriction\mathscr{C}\Rightarrow\iota$。$\omega$ 的满射性已对所有真测地可度量空间得证，而单射性此前悬而未决。在本注记中，我们首先指出 $\omega$ 是两个自然变换 $\varphi\restriction\mathscr{C}\colon\sigma\restriction\mathscr{C}\Rightarrow\varepsilon\restriction\mathscr{C}$ 与 $\omega'\colon\varepsilon\restriction\mathscr{C}\Rightarrow\iota$ 的复合，进而证明 $\omega'$ 对 $\mathscr{C}$ 中所有空间均为单射。作为推论，$\omega$ 对 $\mathscr{C}$ 中所有可度量空间为单射。这部分回答了 [#Ima20a] 中提出的若干问题。