李群上诱导 Hausdorff 度量的序列

设 $\varphi: G \times (M,d) \rightarrow (M,d)$ 为李群在赋予度量 $d$（距离函数）且与 $M$ 的拓扑相容的可微流形上的左作用。记 $gp:=\varphi(g,p)$。设 $X$ 为 $M$ 的紧子集。则 $X$ 的各向同性子群是为 $H_X:=\{g\in G; gX=X\}$ 所定义的 $G$ 的闭子群。诱导 Hausdorff 度量是左陪集流形 $G/H_X$ 上的度量，定义为 $d_X(gH_X,hH_X)=d_H(gX,hX)$，其中 $d_H$ 为 $M$ 中的 Hausdorff 距离。假设 $\varphi$ 是传递的且存在 $p\in M$ 使得 $H_X=H_p$。则 $gH_X \mapsto gp$ 是识别 $G/H_X$ 与 $M$ 的微分同胚。本工作中我们定义了 $M$ 上度量的离散动力系统。令 $d^1=\hat d_X$，其中 $\hat d_X$ 表示与 $d_X$ 相关的内在度量。我们可以迭代 $\varphi: G \times (M\equiv G/H_X,d^1)\rightarrow (M\equiv G/H_X,d^1)$，以得到 $d^2, d^3$ 等等。我们研究特例 $M=G$，左作用 $\varphi: G\times (G,d) \rightarrow (G,d)$ 为 $G$ 的乘积，$d$ 被 $G$ 上的右不变内在度量上界限制，且 $X\ni e$ 是 $G$ 的有限子集。我们证明序列 $d^i$ 逐点收敛于度量 $d^\infty$。此外，若 $d$ 完备且由 $X$ 生成的半群在 $G$ 中稠密，则 $d^\infty$ 是一个右不变 $C^0$-Carnot-Carath\'eodory-Finsler 度量的距离函数。对 $d^\infty$ 为 $C^0$-Finsler 的情形进行了详细研究。