正特征下有理主$GL_n$-丛的半稳定性

设 $k$ 为特征 $p>0$ 的代数闭域，$X$ 是 $k$ 上带有固定丰富除子 $H$ 的光滑射影簇。设 $E$ 是 $X$ 上的有理 $GL_n(k)$-丛，$\rho:GL_n(k)\rightarrow GL_m(k)$ 是一个次数至多为 $d$ 的有理 $GL_n(k)$-表示，使得 $\rho$ 将 $GL_n(k)$ 的根 $R(GL_n(k))$ 映入 $GL_m(k)$ 的根 $R(GL_m(k))$。我们证明：若对某个整数 $N\geq\max\limits_{0<r<m}C^r_m\cdot\log_p(dr)$，$F_X^{N*}(E)$ 是半稳定的，则诱导的有理 $GL_m(k)$-丛 $E(GL_m(k))$ 是半稳定的。作为一个应用，若 $\dim X=n$，我们得到 Frobenius 直接像 ${F_X}_*(\rho_*(\Omega^1_X))$ 半稳定性的一个充分条件，其中 $\rho_*(\Omega^1_X)$ 是通过有理表示 $\rho$ 从 $\Omega^1_X$ 得到的局部自由层。