半稳定主极化阿贝尔簇的剩余表示

设 $A$ 是定义在有理数上的维数为 $d$ 的半稳定主极化阿贝尔簇。设 $\ell$ 为素数，令 $\bar{\rho}_{A,\ell} : G_{\mathbb{Q}} \rightarrow \mathrm{GSp}_{2d}(\mathbb{F}_\ell)$ 为给出 $G_{\mathrm{Q}} :=\mathrm{Gal}(\bar{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})$ 在 $\ell$-挠群 $A[\ell]$ 上的作用的表示。我们证明：若 $\ell \ge \max(5,d+2)$，且 $\bar{\rho}_{A,\ell}$ 的像包含一个平延，则 $\bar{\rho}_{A,\ell}$ 或是可约的或是满射。借助此结论，我们研究了半稳定主极化阿贝尔三维簇的 $\bar{\rho}_{A,\ell}$ 的满射性，并给出一个定义在 $\mathbb{Q}$ 上的亏格 $3$ 超椭圆曲线 $C/\mathbb{Q}$ 的例子，使得对所有素数 $\ell \ge 3$，$\bar{\rho}_{J,\ell}$ 均为满射，其中 $J$ 为 $C$ 的雅可比簇。