具有小分裂域的半稳定阿贝尔簇

设 $A$ 是定义在 ${\bf Q}$ 上的半稳定阿贝尔簇，仅在单个素数 $p$ 处具有坏约化。设 $L= {\bf Q}(A[\ell])$ 为 $A$ 的 $\ell$-分裂域，其中 $\ell$ 是不等于 $p$ 的素数，并设 $F={\bf Q}(\mu_\ell)$ 为由 $\ell$ 次单位根群生成的分圆域。我们研究使得 $H={\rm Gal(L/F)}$ 在如下意义下“小”的簇 $A$：即 $H$ 是一个 $\ell$-群，或更一般地，$H$ 是幂零的。我们证明了若 $\ell=2$ 或 3 且 $H$ 是幂零的，则 $A$ 在 $p$ 处的约化是完全环面的，从而其导子是 $p^{\dim A}$。模曲线 $X_0(41)$ 的 Jacobian 是一个三维的简单半稳定阿贝尔簇，仅在 $p=41$ 处具有坏约化，且其 2-分裂域的 Galois 群是一个 2-群。对于 $\ell=2$、3 或 5，存在具有素数导子的椭圆曲线 $E$，使得 ${\bf Q}(E[\ell]) = {\bf Q}(\mu_{2 \ell})$。我们刻画了与乘积 $E^d$ 同源的阿贝尔簇。