双团与双独立对的半定近似

我们研究二部图 $G=(V_1\cup V_2,E)$ 中涉及双独立对 $(A,B)$ 的一些图参数，即满足 $A\subseteq V_1$、$B\subseteq V_2$ 且 $A\cup B$ 为独立集的对 $(A,B)$。这些参数也允许研究一般图中的双团。当最大化基数 $|A\cup B|$ 时，得到稳定数 $\alpha(G)$，已知可在多项式时间内计算。当最大化乘积 $|A|\cdot |B|$ 时，得到参数 $g(G)$，被 Peeters（2003）证明为 NP-困难；当最大化比值 $|A|\cdot |B|/|A\cup B|$ 时，得到 $h(G)$，由 Vallentin（2020）引入用于界定有限群中的无积集。我们证明 $h(G)$ 是一个 NP-困难参数，并且作为关键要素，判定二部图 $G$ 是否具有平衡最大独立集是 NP-完全的。这些困难性结果促使我们引入针对 $g(G)$、$h(G)$ 和 $\alpha_{\text{bal}}(G)$（平衡独立集的最大基数）的半定规划界。我们表明这些界可被视为著名的 $\alpha(G)$ 的半定界 Lov\'{a}sz $\vartheta$-数的自然变体。此外，我们给出了闭式特征值界，并展示了它们之间的关系以及与 Hoffman、Haemers（2001）和 Vallentin（2020）早期谱参数之间的关系。