2-Club 问题的结构参数化研究

NP-hard 的 2-Club 问题是指：给定一个无向图$G=(V,E)$和$l\in \mathbb{N}$，判断是否存在一个顶点子集$S\subseteq V$，其大小至少为$l$，使得诱导子图$G[S]$的直径至多为 2。我们在针对一系列显著的结构图参数层次对 2-Club 复杂性进行系统分类方面取得了进展。首先，我们提出以下紧致的 NP-hardness 结果：2-Club 在删除一个顶点后变为二分图的图上、在可由三个团覆盖的图上、以及在支配数为 2 且直径为 3 的图上均为 NP-hard。接着，我们考虑输入图的$h$-index 参数。该参数的动机源于现实世界实例以及 2-Club 关于更大参数（最大度）是固定参数可解的事实。我们提出了一种算法，能在$|V|^{f(k)}$时间内解决 2-Club 问题，其中$k$为$h$-index。通过证明该参数的 W[1]-hardness，我们提供了证据表明上述算法无法改进为固定参数算法。此外，用于此硬度结果的归约方法可被修改以证明：若输入图具有常数退化度，则 2-Club 是 NP-hard 的。最后，我们证明了 2-Club 关于到 cographs 的距离是固定参数可解的。