T_{h+1}-自由边删除问题的难度与可塑性

我们研究了 T(h+1)-自由边删除问题的参数复杂度。给定图 G 及整数 k 和 h，任务是删除至多 k 条边，使得生成的图的每个连通分量大小至多为 h。该问题在 h 至少为 3 时为 NP 完全问题，而在 h 至多为 2 时可在多项式时间内求解。近期工作表明存在强烈的难度障碍：该问题在以解的规模及反馈边集大小为参数时为 W[1]-硬，这排除了许多经典结构参数的固定参数可解性。我们显著加强了这些负面结果，证明当以顶点删除距离到不相交的路径、顶点删除距离到不相交的星形，或 twin 覆盖数为参数时仍为 W[1]-硬。这一结果统一并扩展了关于 treewidth、pathwidth 和反馈顶点集的已知难度结果，表明当 h 无上界时，包括 treedepth、簇顶点删除数和模块宽度在内的若干限制性参数均不会产生固定参数可解性。另一方面，我们识别出能够恢复可塑性的参数化。我们证明当以簇顶点删除数与 h 共同为参数时，该问题可被固定参数求解；当以顶点删除集进入团以及 h 共同为参数时亦然，方法基于整数线性规划 formulation。我们进一步提出一种以 k 为参数的固定参数可解的近似算法。最后，我们表明该问题在分裂图和区间图上 admits 固定参数可解算法，而针对一个 directed 推广问题（即使在有向无环图上）也证明了其难度。