s-Club 聚类边删除问题的参数复杂度：直径限制是否必要？

我们研究s-Club 聚类边删除问题的参数化与核化复杂度，这是一种距离约束化的聚类边删除问题。给定图 $G = (V, E)$ 和整数 $k, s$，目标是删除至多 $k$ 条边，使得结果图中每个连通分支的直径至多为 $s$。这捕获了一类介于聚类与连通性控制之间的距离约束图修改问题。我们证明当 $s=2$ 时，该问题在分裂图上已是 NP-hard，弥合了 $s=1$ 和 $s=3$ 的多项式可解情况之间的差距。针对该情形我们给出一个 cubic 顶点核，首个针对分裂图上 2-Club 聚类边删除问题的多项式核。结构上，我们指出该问题在以路径宽或支配树宽为参数时是 W[1]-hard，这表明直径限制s对固定参数可解性至关重要。相反，若以树深、邻域多样性或聚类顶点删除数为参数，问题是 FPT。最后，我们设计了一个 FPT 近似方案，对排除长诱导环的图，运行时间为 $f(k, 1/\epsilon) \cdot n^{O(1)}$，输出解大小至多为 $k$，且各连通分支直径至多为 $(1 + \epsilon) \cdot s$。我们还引入有向变体 s-Club 聚类弧删除，证明其即使在有向无环图上，以 $k$ 为参数也是 W[1]-hard。