关于带三角形约束的 2-Club 结构参数化

给定无向图 G = (V, E) 和整数 k，s-Club 询问 G 是否包含一个至少有 k 个顶点的顶点子集 S，使得 G[S] 的直径至多为 s。最近，Garvardt 等人 [TOCS-2023, IWOCA-2022] 从参数化复杂度的角度研究了推广 s-Club 概念的 Vertex r-Triangle s-Club 和 Edge r-Triangle s-Club。给定图 G 和整数 k，Vertex r-Triangle s-Club 询问是否存在一个至少有 k 个顶点的 s-Club S，使得每个顶点 u \in S 在 G[S] 中至少属于 r 个三角形。在本文中，我们从输入图结构参数的角度，对每个整数 r >= 1 的 Vertex r-Triangle s-Club 发起了系统性研究。特别地，我们为以输入图的树宽（tw）为参数的 Vertex r-Triangle 2-Club 提供了 FPT 算法，并为以输入图的 h-index 为参数的情况提供了 XP 算法。此外，当以输入图的反馈边数（fes）为参数时，我们为 Vertex r-Triangle s-Club 提供了一个具有 O(fes) 条边的核。