带三角形与种子约束的 s-Club 的 parameterized 复杂性

s-Club 问题询问：对于给定的无向图 $G$，是否存在大小至少为 $k$ 的顶点集 $S$，使得 $G[S]$（由 $S$ 诱导的 $G$ 的子图）的直径至多为 $s$。我们考虑 $s$-Club 的变体，其中额外要求 $G[S]$ 的每个顶点包含在 $G[S]$ 中至少 $\ell$ 个三角形中，或 $G[S]$ 的每条边包含在 $G[S]$ 中至少 $\ell$ 个三角形中，或 $S$ 包含给定的种子顶点集 $W$。我们证明一般而言这些变体在由解大小 $k$ 参数化时是 W[1]-困难的，使其比无约束的 $s$-Club 问题显著更难。在正面结果方面，我们针对 $\ell=1$ 的情形以及 $G[W]$（由种子顶点集诱导的图）为团的情形获得了一些 FPT 算法。