区间图与良划分弦图上的 s-团簇顶点删除

本文研究 \textsc{$s$-Club Cluster Vertex Deletion} 的计算复杂性。给定图，\textsc{$s$-Club Cluster Vertex Deletion ($s$-CVD)} 旨在从图中删除最少数量的顶点，使得所得图的每个连通分支直径至多为 $s$。当 $s=1$ 时，相应问题广为人知为 \sloppy \textsc{Cluster Vertex Deletion (CVD)}。我们为 \emph{区间图} 上的 \textsc{$s$-CVD} 提供了更快的算法。对每个 $s\geq 1$，我们给出在区间图上 \textsc{$s$-CVD} 的 $O(n(n+m))$ 时间算法，其中图有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边。在 $s=1$ 的情形，我们的算法相较 Cao 等人（Theor. Comput. Sci., 2018）的 $O(n^3)$ 时间算法略有改进；对 $s \geq 2$，则显著改进了当前最优运行时间 $\left(O\left(n^4\right)\right)$。我们还给出在 \emph{良划分弦图} 上求解 \textsc{CVD} 的多项式时间算法，该类图由 Ahn 等人（\textsc{WG 2020}）引入，作为缩小在弦图上困难而在分裂图上容易的问题复杂性差距的工具。我们的算法依赖于对最优解的刻画以及求解多项式多个 \textsc{Weighted Bipartite Vertex Cover} 实例。这推广了 Cao 等人（Theor. Comput. Sci., 2018）关于分裂图的结果。我们还证明对任意偶整数 $s\geq 2$，\textsc{$s$-CVD} 在良划分弦图上为 NP-hard。