黎曼$\zeta$函数在临界线上的自交点

我们证明了黎曼$\zeta$函数$\zeta$在临界线上仅有可数个自交点，即对于除可数个以外的所有$z \in \mathbb{C}$，方程$\zeta(1/2+it)=z$在$\mathbb{R}$中至多有一个解$t$。更一般地，我们证明了如果$F$在$\mathbb{R}$的复邻域内解析且在$\mathbb{R}$上局部单射，那么集合$\{(a,b) \in \mathbb{R}^2:a \ne b \text{ 且 } F(a)=F(b)\}$要么是可数的，要么像集$F(\mathbb{R})$是$\mathbb{C}$中的一个闭回路。