非遍历哈密顿系统的二阶快-慢动力学：热力学解释与模拟

研究了一类具有势$U_\varepsilon$的快-慢哈密顿系统，该势描述了非遍历快自由度和慢自由度之间的相互作用。参数$\varepsilon$表示快、慢自由度的典型时间尺度比。已知当$\varepsilon\to0$时，该哈密顿系统收敛到一个均匀化哈密顿系统。我们研究$\varepsilon$小而为正的情形。首先，我们严格推导了均匀化（慢）自由度上的二阶修正。这些修正可分解为显式给出的、在零附近快速振荡的项，以及追踪修正平均运动的项，后者由非齐次线性微分方程组的解给出。接着，我们从热力学角度分析了展开到二阶的快自由度能量。特别地，我们定义并将温度、熵和外力求和展开到二阶，并证明它们满足主导阶以及二阶平均意义下类似于热力学第一和第二定律的热力学能量关系。最后，我们针对一个特定的快-慢哈密顿系统，从数值角度分析了慢自由度的二阶渐近展开。将其在短时间和长时间框架下的逼近质量以及总计算时间，与精度相近的原快-慢哈密顿系统解进行比较。