热力学第二定律、马尔可夫原理下的宏观可观测量及无热力学极限情形

玻尔兹曼原理 $S=k \ln W$ 允许将平衡热力学统计推广到“小系统”，而无需引入热力学极限。其关键在于将统计概率基于样本平均，而非时间平均。由于宏观测量获得的信息不完整，热力学处理的应是样本或相空间中有限大小的子流形，而非单一的时间依赖轨迹。因此，样本平均是统计概率的自然对象。这就是粗糙化的物理起源，而不再是数学上的一种假设性做法。基于此概念，可自然地推导出包括小系统相变等最复杂现象在内的全部平衡热力学。玻尔兹曼原理被推广至具有可能分形分布 ${\cal{M}}$ 的非平衡哈姆顿系统，通过将相空间体积的常规黎曼积分替换为其对应的盒计数体积。这等于等于闭合集 $\bar{\cal{M}}$ 的体积。通过这一扩展，可在不诉诸热力学极限的情况下推导第二定律。该方法中的不可逆性源于将相空间体积替换为其闭合体 $\bar{\cal{M}}$ 的体积。其物理原因在于，宏观测量无法区分 ${\cal{M}}$ 与 $\bar{\cal{M}}$。前者由于李ouville定理在时间内不变，而闭合体的体积可能更大。与常规粗糙化不同，盒计数体积是在无限分辨率的极限下定义的，即不存在人为的信息丢失。