香肠与屠宰纸

对于每个 $d>1$，度为 $d$ 的移位轨迹（shift locus），记为 ${\mathcal S}_d$，是指一个复变量上归一化度 $d$ 多项式的空间，其中每个临界点都在迭代下趋于无穷远吸引盆中。它是一个复维数为 $d-1$ 的复解析流形。我们能够将 ${\mathcal S}_d$ 显式地描述为一个在可缩的 $\tilde{A}_{d-2}$ 建筑（building）之上的空间复形，并以两种颇为不同的方式描述其组成部分：1.（组合）：用动力学的扩展叠层（extended laminations）；或 2.（代数）：用某些显式的“类判别式”仿射代数簇。由该结构可推得众多事实，包括 ${\mathcal S}_d$ 具有实维数 $d-1$ 的 CW 复形的同伦型；以及 ${\mathcal S}_3$ 和 ${\mathcal S}_4$ 是 $K(\pi,1)$。证明方法本身也相当有趣。事实上，在此过程中我们发现了一种新的复曲面类（它们是 ${\mathbb C}^2$ 中某些奇异曲线之补），它们同伦于局部 CAT$(0)$ 复形；特别地，它们是 $K(\pi,1)$。