楔形中的 Sadovskii 涡旋及环面上相关的黎曼-希尔伯特问题

从典型狭缝域到具有自由边界的多连通物理域的共形映射重构，在流体力学中许多不同模型里都备受关注。本文中，当流体在楔形中绕 Sadovskii 涡旋流动时，获得了从双狭缝外部到双连通流动域的共形映射精确公式。在给定绕涡旋环量 $\Gamma$ 与涡旋边界上恒定速度 $U$、且壁上无驻点的情况下，该映射被用于确定涡旋外的势流及涡旋域边界。映射表示为拓扑等价于环面的椭圆曲面上的有理函数，以及同一亏格为 1 的黎曼曲面上有限与半无限线段上的对称黎曼-希尔伯特问题的解。由于其特殊性质，该黎曼-希尔伯特问题需要椭圆曲面上柯西核的新类比。我们提出此种核并用于推导黎曼-希尔伯特问题及相关的 Jacobi 反演问题的闭式解。共形映射的最终公式含有一个自由几何参数与两个模型参数，即楔形角 $\alpha$ 与 $\Gamma/U$。研究表明，当 $\alpha<\pi$ 时解存在且涡旋具有两个尖点，而当楔形角超过 $\pi$ 时解不存在。