phi^4 平均场模型的鞍点指数性质、奇异拓扑及其与热力学奇异性的关系

我们研究了具有无限程相互作用的 phi^4 模型的势能面。只要相互作用强度 mu 小于一个临界值，所有驻点都可以由三个实数 $\alpha_+, \alpha_0, \alpha_-$ 唯一表征，且满足 $\alpha_+ + \alpha_0 + \alpha_- = 1$。鞍点指数 n_s 等于 $\alpha_0$，其分布函数在 $n_s^{max} = 1/3$ 处有最大值。如果外场 H 为零，则每粒子能量为 e 的驻点密度 p(e) 以及欧拉示性数 chi(e) 在临界能量 $e_c(\mu)$ 处是奇异的。然而，$e_c(\mu) \neq \upsilon_c(\mu)$，其中 $\upsilon_c(\mu)$ 是热力学相变点 $T_c$ 处的每粒子平均势能。这证明先前关于拓扑和热力学转变点重合的说法在一般情况下是不成立的。当 $H \neq 0$ 时，这两种奇异性都消失。平均鞍点指数 $\bar{n}_s$ 作为 e 的函数随 e 单调递减，并仅在基态能量处消失。相比之下，作为平均能量 $\bar{e}(n_s)$ 函数的鞍点指数 $n_s$ 由 $n_s(\bar{e}) = 1+4\bar{e}$（对于 H=0）给出，该指数在 $\bar{e} = -1/4 > \upsilon_0$（基态能量）处消失。