Rota 基猜想对向量空间的随机基成立

1989 年，Rota 猜想：给定向量空间 $\mathbb{F}^n$ 在某一域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 个基 $B_1,\dots,B_n$，总能将多重集 $B_1\cup \dots \cup B_n$ 分解为横截基。尽管受到大量关注，该猜想仍远未解决。本文考虑随机基 $B_1,\dots,B_n$ 的情形。更具体地，我们的第一个结果表明，若基 $B_1,\dots,B_n$ 是在某个有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $\mathbb{F}_q^n$ 的所有基中独立均匀随机选取的（对于无限域 $\mathbb{F}$ 类似结果显然成立），则当 $n\to \infty$ 时 Rota 基猜想以概率 $1-o(1)$ 成立。换言之，该猜想对几乎所有基的选择 $B_1,\dots,B_n\subseteq \mathbb{F}_q^n$ 为真。我们的第二个更一般的结果涉及某个给定有限子集 $S\subseteq \mathbb{F}$ 的随机基 $B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$（即所有向量元素均在 $S$ 中的基 $B_1,\dots,B_n$）。我们表明，当在作为 $S^n$ 子集的所有基中独立均匀随机选取基 $B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$ 时，当 $n\to \infty$ 时 Rota 基猜想再次以概率 $1-o(1)$ 成立。