Rota 基约束的横向基的渐近紧致 packing 与 covering

1989 年，Rota 猜想称给定任意 $n$ 个向量空间维数为 $n$ 的基 $B_1,\dots,B_n$，或更一般的秩为 $n$ 的 matroid，是否可能将其重新排列成 $n$ 个互不相交的横向基。其中，横向基是恰好从原始基 $B_1,\dots,B_n$ 中各取一个元素的基。在此设定下，两种自然的求解路径是：a) 我们能找到多少个互不相交的横向基；b) 我们需要多少个横向基才能覆盖所有元素 $B_1,\dots,B_n$。本文给出这两个问题的渐近紧致答案。对于 a) 我们证明总是存在 $(1-o(1))n$ 个互不相交的横向基，改进了 Buci\'c、Kwan、Pokrovskiy 和 Sudakov 的结果，后者证明 $(1/2-o(1))n$ 个互不相交的横向基总是存在。对于 b) 我们证明 $B_1\cup\dots \cup B_n$ 可被 $(1+o(1))n$ 个横向基覆盖，改进了 Aharoni 和 Berger 的结果（该论文使用 $2n$ 个横向基），以及 Polymath 项目在 Rota 基约束上的后续结果（使用 $2n-2$ 个横向基）。