平面双极偏序集与横截结构的计数

我们表明，平面双极偏序集(即无传递边的平面双极定向)与横截结构可通过 Kenyon、Miller、Sheffield 和 Wilson 的双向映射的适当特化，与某些(带权)的象限行走模型建立对应。随后我们导出精确与渐近计数结果。特别地，我们(先计算再双射地)证明：含 $n+2$ 个顶点的平面双极偏序集数目等于大小为 $n$ 的平面排列数。关于横截结构，对每个 $v\geq 0$ 我们考虑 $t_n(v)$，即具 $n+4$ 个顶点且每个四边形内面带权 $v$ 的此类结构数目(情形 $v=0$ 对应仅有三角形内面)。我们得到计算 $t_n(v)$ 的递推式，以及一个渐近公式：对 $v=0$ 给出 $t_n(0)\sim c\ (27/2)^nn^{-1-\pi/\mathrm{arccos}(7/8)}$(某 $c>0$)，这也确保相应的生成函数非 D-有限。