围长条件与 Rota 基猜想

Rota 基猜想（RBC）指出：给定秩为 $n$ 的拟阵 $M$ 中 $n$ 个基组成的族 $\mathcal{B}$，总能找到关于 $\mathcal{B}$ 的 $n$ 个互不相交的彩虹基。本文中，我们证明若 $M$ 的围长至少为 $n-o(\sqrt{n})$，且 $M$ 中没有任何元素属于 $\mathcal{B}$ 中超过 $o(\sqrt{n})$ 个基，则能找到至少 $n - o(n)$ 个关于 $\mathcal{B}$ 的互不相交彩虹基。该结果可视为 Geelen 与 Humphries 工作的推广，他们证明了当 $M$ 为铺砌拟阵且 $\mathcal{B}$ 为两两不相交族时的 RBC。我们广泛使用了 Bucić 等人引入的级联思想。