有限性马约拉布尔 matroid 中的马约拉布尔交叉与 packing/covering 猜想成立
摘要
给定两个有限马约拉布尔 matroid 在相同的基集上，艾德姆斯的经典结果表明，可以将基集划分为两个不相交的子集，使得在第一个 matroid 中，第一个子集的交集能够在第一个 matroid 中张成该子集，而在第二个 matroid 中，第二个子集的交集能够在第二个 matroid 中张成该子集。关于两个定义在相同无限基集上的 matroid 的情况存在长期的猜想。无限马约拉布尔 matroid 仅在2010年代初由布洛赫等人给出 axiomatization，而该猜想在1990年代提出，针对现在称为有限性马约拉布尔 matroid 的结构，即所有电路都是有限集合的马约拉布尔 matroid。由于布洛赫尔和卡尔米森提出的 packing/covering 猜想，是一个与马约拉布尔交叉猜想密切相关的猜想：如果所有马约拉布尔 matroid 中的 packing/covering 猜想成立，当且仅当所有马约拉布尔 matroid 中的马约拉布尔交叉猜想成立。给定一个在相同基集上的马约拉布尔 matroid 族，猜想询问是否可以将基集划分为两个不相交的子集，使得第一个子集上限制的马约拉布尔 matroid 族允许一种 packing，而第二个子集上收缩的马约拉布尔 matroid 族允许一种 covering。我们在有限性马约拉布尔 matroid 的类别中证明了这两个猜想。我们的主要工具是非标准分析，具体而言是迭代非标准扩张技术。大致上，我们首先将任何无限马约拉布尔 matroid 嵌入到定义在原基集非标准扩张子集上的超有限马约拉布尔 matroid 中，然后迭代地对超有限结构进行非标准扩张，以便在内部宇宙中证明结果，这些结果可以直接传递以获得我们开始的马约拉布尔 matroid(s) 的结果。
引用
@article{arxiv.2501.04321,
title = {Matroid intersection and packing/covering conjectures are true in the class of finitary matroids},
author = {Irfan Alam},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.04321},
year = {2025}
}
备注
I thank Nathan Bowler for pointing out a critical mistake at the end of my claimed proof of Theorem 2.1. The set ${^*}A \cap {^*}\mathbb{I}$ is not necessarily contained in its internal star extension as it was claimed in the last line of that proof. The purported proofs of both conjectures had this issue. An expository article growing out of the correct parts of this work will be posted soon