单叶函数的 Rogosinski 引理、双曲阿基米德螺线与 Loewner 方程

我们描述了单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内所有归一化有界单叶函数 $f$ 在固定点 $z_0 \in \mathbb{D}$ 处的值 $f(z_0)$ 的区域 $\mathcal{V}(z_0)$。证明基于将 $\mathcal{V}(z_0)$ 识别为径向 Loewner 微分方程的可达集。我们还利用弦向 Loewner 方程证明了上半平面的类似结果。