关于度量空间上连续量纲范畴的鲁棒拓扑与 Hausdorff-Smyth 单子

我们定义了一个（序数丰富）范畴 $\mathsf{Met}$，由量纲空间和均匀连续映射构成，关键要求是量纲为连续。对于每个对象 $(X,d,Q)$，其中 $X$ 为载体集合，$Q$ 为连续量纲，$d: X \times X \to Q$ 为度量，我们考虑其上的拓扑 $\tau_d$，该拓扑推广了开球拓扑；以及在幂集 $\mathsf{P}(X)$ 上的拓扑 $\tau_{d,R}$，称为鲁棒拓扑，捕捉参数小扰动的鲁棒性。我们定义了一个（序数丰富）单子 $\mathsf{P}_S$ 于 $\mathsf{Met}$ 上，称为 Hausdorff-Smyth 单子，捕捉鲁棒拓扑，因而对象 $\mathsf{P}_S(X,d,Q)$ 的开球拓扑与对象 $(X,d,Q)$ 的鲁棒拓扑 $\tau_{d,R}$ 一致。我们证明了每个拓扑均可由量纲度量实现。因此，我们的框架为广泛的计算与物理系统中关于不确定性与鲁棒性的定量推理提供了基础。