源于加权的拓扑：偏度量空间的奇妙情形

对于任意小 quantaloid $\Q$，存在一个新的由 $\Q$ 中对角元构成的 quantaloid $\D(\Q)$。若 $\Q$ 是可除的，则 $\D(\Q)$ 亦是（反之亦然），此时比较 $\Q$ 加权范畴与 $\D(\Q)$ 加权范畴尤为有趣。以 Lawvere 的广义正实数 quantale 为基 quantale 时，$\Q$-范畴即为广义度量空间，而 $\D(\Q)$-范畴即为广义偏度量空间，即自距离不必为零且三角不等式经过适当修改的度量空间。我们证明了每个小 quantaloid 加权范畴在其对象集上均具有典范闭包算子：这构成了一个从 quantaloid 加权范畴到闭包空间的函子。在基 quantaloid 上施加温和的充分必要条件后，该函子将落入拓扑空间范畴；且一个对合 quantaloid 是 Cauchy 双边的（该性质早先在分配律的语境中被发现），当且仅当任一加权范畴上的闭包与其对称化上的闭包相同。由于此结论同样适用于度量空间和偏度量空间，我们论证了这些广义范畴构造如何为广义偏度量空间中序列的收敛性与 Cauchy 性给出“正确”的定义。最后，我们再次通过应用广义 quantaloid 加权范畴理论，描述了偏度量空间的 Cauchy 完备化、Hausdorff 构造以及可指数化性。