通过富化 dagger 范畴证明鞅的收敛性

我们利用富化范畴理论给出了鞅与倒向鞅依均值收敛的范畴论证明。我们使用的富化是在拓扑空间中进行的，利用其规范的闭幺半结构，该结构编码了逐点收敛的一个版本。我们在概率空间与 Markov 核（直至几乎必然相等）的拓扑富化 dagger 范畴中进行研究。在该范畴中，我们可以将条件期望精确描述为 dagger-分裂幂等态射，并将滤子编码为具有规范偏序结构的分裂幂等有向网。如我们所证，每个递增（或递减）的幂等网在拓扑上均趋于其上确界（或下确界）。概率空间上的随机变量构成到 Hilbert 空间与 Banach 空间范畴的反变函子，我们可以使用 L^p 范数对其进行拓扑富化。鞅与倒向鞅可以根据这些函子来定义。由于富化函子保持网的收敛性，我们得到了在 L^p 范数下的收敛。特别是，以任意网为指标的倒向鞅的收敛结果似乎是全新的。通过更换函子，可以描述更一般的条件期望与鞅的概念，并且如果该函子是富化的，即可自动获得收敛结果。例如，可以恢复基于 Bochner 的向量值条件期望概念，以及取值于任意 Banach 空间的鞅的收敛。这项工作似乎是文献中将拓扑富化范畴应用于分析与概率的首次尝试。我们希望这种过去常被忽视的富化方法在未来能被用于范畴地获取更多的收敛结果。