Banach 空间值高斯随机变量的条件化：一种基于鞅的逼近方法

我们研究了两个 Banach 空间值的联合高斯随机变量的条件分布。特别地，我们证明了这些条件分布仍然是高斯的，并且它们的均值和协方差可以通过一般的有限维逼近方案来确定。在此，我们发现该方案中出现的协方差算子在迹范数下收敛，且条件概率弱收敛。此外，我们讨论了如何将我们的逼近方案在几类重要的 Banach 空间中实现，例如（再生核）Hilbert 空间、连续函数空间以及其他由函数组成的空间。作为示例，我们将一般结果应用于以路径的部分但无限观测为条件的连续高斯过程情形。在此我们证明，对包含有限多个观测的足够丰富的递增集合进行条件化会导致一致的逼近，即均值和协方差函数一致收敛且条件概率弱收敛。此外，我们讨论了这些结果如何增进我们对机器学习中流行的高斯过程的理解。从技术角度来看，我们的结果基于针对正则条件概率的 Banach 空间值鞅方法。