对合范畴之道

对合范畴（dagger category）是一种配备有函子式态射反转方式（即一个反变对合、在对象上恒等的内自函子）的范畴。具有附加结构的对合范畴曾在范畴量子力学和代数场论中以不同名称被研究。在本文中，我们独立研究对合，并展示基础范畴论如何适配于对合范畴。我们发展了对合极限的概念，并证明其适用性如下：它包含了文献中已知的特殊情形；对合极限在同构意义下唯一（直至酉同构）；一大类对合极限可由其中少量构造出来；固定形状的对合极限可表述为对角函子的对合伴随；在存在极分解时，对合极限可由普通极限构造；在许多情况下对合极限与对合余极限可交换。利用余自由对合范畴，对合极限理论可用于提供普通范畴论中极限-余极限重合的无 enrichment 理解。我们形式化了双极限（ambilimit）的概念，并证明其涵盖了已知情形。作为一个特例，我们展示了如何在任意范畴中在不假设任何 enrichment 的情况下定义双积（至同构）。此外，域论中的极限-余极限重合可推广到无 enrichment 的情形，并且我们证明在适当假设下，一大类内自函子具有典范不动点。对合范畴上的单子理论在全部结构均尊重对合时最为完善：单子与伴随须保持对合，且单子及其代数须满足所谓的 Frobenius 律。此时任一单子可分解为一个伴随，其极值解由 Kleisli 与 Frobenius-Eilenberg-Moore 代数范畴给出，它们同样具有对合。