再探薄圆锥壳的边缘曲率异常

本文重新研究了可展锥（d-cone）中令人困惑的行为之一，d-cone 是将薄板推入半径为 $R$ 的圆形容器距离 $\eta$ 时所形成的形状 [E. Cerda, S. Chaieb, F. Melo, and L. Mahadevan, {\sl Nature} {\bf 401}, 46 (1999)]。先前报道称，在 d-cone 受支撑的边缘处平均曲率消失 [T. Liang and T. A. Witten, {\sl Phys. Rev. E} {\bf 73}, 046604 (2006)]。我们在固定 $R$ 和 $\eta$ 的情况下，研究了两个主曲率之比相对于薄板厚度 $h$ 的关系，其动态范围比以往使用的更宽。该比例并未如先前工作所暗示的那样趋于 1，而是按 $(h/R)^{1/3}$ 标度。因此，对于极薄的薄板，平均曲率并不像先前声称的那样消失。此外，我们发现 d-cone 中径向曲率的归一化边缘轮廓与将规则锥推入圆形容器所制成的“c-cone”中的轮廓相同。在 c-cone 和 d-cone 中，边缘处的主曲率之比均按 $(R/h)^{5/2}F/(YR^{2})$ 标度，其中 $F$ 为推力，$Y$ 为杨氏模量。标度论证和解析解证实了这些数值结果。