切片 Wasserstein 距离失配的刚性与定量稳定性

切片 Wasserstein 距离 $SW_2(\mu,\nu)$ 通过在线性投影上对一维最优传输距离进行平均来比较高维概率测度。尽管切片 Wasserstein 距离在统计学、成像和机器学习中已成为标准的计算工具，但其基础比较 $$SW_2^2(\mu,\nu)\leq \frac1d W_2^2(\mu,\nu)$$ 背后的刚性问题尚未系统研究。设 $\mu,\nu\in\mathcal P_2(\mathbb R^d)$, $d\ge2$, 且 $\mu\ll\mathcal L^d$, 定义切片 Wasserstein 失配:\n$${\mathrm D}(\mu,\nu):=\frac1d W_2^2(\mu,\nu)-SW_2^2(\mu,\nu)\geq 0.$$\n我们证明当且仅当从 $\mu$ 到 $\nu$ 的 Brenier 映射 $T=\nabla\varphi$ 为仿射相似时, ${\mathrm D}(\mu,\nu)=0$, 即\n$$T(x)=\lambda x+b \qquad \mu\text{-a.e.},$$\n其中 $\lambda\ge0$ 和 $b\in \mathbb R^d$。对于定量稳定性, 我们引入切片 Poincaré--Korn (SPK) 常数 $\kappa_{\mathrm{SPK}}(\mu)$, 其定义为在梯度场上作平均 ridge 投影二次型上的一个新谱间隙, 取模家族 $\{\lambda x+b\}$。只要该常数为正, 我们便证明切片 Wasserstein 失配具有稳定性估计, 其精度取决于投影单调传输的一维 Lipschitz 比例尺。我们计算了高斯测度下最重要案例的尖锐 SPK 常数, 并为高斯的有界扰动以及固定源测度下紧致梯度场类给出正的 SPK 界限。最后, 我们指出各向异性高斯给出尖锐阻碍: 无论是 Bakry--\'Emery 下曲率界还是常规 Poincaré 不等式单独都无法推出全局切片 Poincaré--Korn 不等式。