Stiefel-Whitney 类的黎曼度量代表元

若 $M$ 为闭流形，且 $K$ 为 $M$ 的一个光滑三角剖分，Whitney 证明了所有 Stiefel-Whitney 类均被指定为对偶胞腔复形 $(K')^*$ 上的上链，对每个对偶胞腔赋以模 $2$ 的值 $1$。我们为这对 $(M,K)$ 赋予任意黎曼度量 $g$，并利用 Whitney 的判据证明存在所有 Stiefel-Whitney 类 $w_1(M), \ldots , w_n(M)$ 的相应代表元。$w_1(M)$ 的代表元由 $\det{g_{ij}}$ 确定，其中 $g_{ij}$ 是在每个对偶 $1$-胞腔上局部定义的标架中计算而得；$w_{2k}(M)$ 等偶类的代表元由与每个对偶 $2k$-胞腔相关联的局部定义的全测地有向带边 $2k$ 流形的 Chern-Gauss-Bonnet 密度 $2k$-形式确定；$w_{2k+1}(M)$ 等奇类的代表元由与每个对偶 $(2k+1)$-胞腔相关联的局部定义的全测地有向带边 $(2k+1)$ 流形的边界球面的超曲面面积形式确定。若 $(M,J,g)$ 为 Hermitian（厄米特）的，我们证明如此得到的 $w_{2k}(M)$ 的度量代表元是由系数同态诱导的第 $k$ 个 Chern 类 $c_k(M,J)$ 的 $\mathbb{Z}/2$ 约化，且如此得到的任意奇次类 $w_{2k+1}(M)$ 的度量代表元在上同调中是平凡的。