Ricci 曲率与常数量曲率度量的奇点

本文考虑 n 维柱体上常正数量曲率的周期球对称度量，称为伪柱面度量。这些度量属于黎曼积 $S^1\times S^{n-1}$（长度为 $T$ 的圆周与 (n-1) 维标准球的交叉积）共形类 $[g_0]$。除柱面度量外，此类度量具有调和黎曼曲率与非平行 Ricci 张量。因此，它们与作为翘曲积并对一类黎曼流形进行分类的 Derdzinski 度量之间出现了自然联系。这两族度量实际上通过共形变换相互区别。此外，我们关注 $[g_0]$ 中伪柱面度量的重数问题，并研究 Derdzinski 度量的存在性问题及其数量。进而，我们证明伪柱面度量仅在维数 $n = 3,4$ 和 6 时可表示为椭圆函数，而在其他任意维数时可表示为自守函数。这一事实使我们能够给出全局估计的新界。最后，我们考察作为去掉 $k$ 个点的标准球上完备奇异 Yamabe 度量的渐近伪柱面度量的曲率，证明任一此类（非平凡）度量均具有非平行 Ricci 张量。