重访 Tietze-Nakajima 定理——映射的局部与全局凸性
组合数学
2009-11-19 v4 辛几何
摘要
Tietze 与 Nakamija 在 1928 年给出的一个定理断言：若 R^n 的子集 X 是闭的、连通的且局部凸的，则它是凸的。我们给出一个类似的“局部到全局凸性”定理，其中 X 到 R^n 的包含映射被一个从拓扑空间 X 到 R^n 的满足某些局部性质的映射所替代。我们称一个从拓扑空间到 R^n 的映射是凸的，如果空间中的任意两点可由一条路径连接，该路径与映射的复合是一条直线段的弱单调参数化。设 X 是一个连通 Hausdorff 拓扑空间，T 是 R^n 的一个凸子集，且 Psi: X \to T 是一个连续真映射。假设 X 中每一点都包含在一个开集 U 中，使得映射 Psi|_U: U \to Psi(U) 是凸且开的。则映射 Psi: X \to \Psi(X) 是凸且开的。由此，其像为凸的且其水平集是连通的。我们的动机来自 Condevaux-Dazord-Molino 对辛几何中 Atiyah-Guillemin-Sternberg 凸性定理的证明。
引用
@article{arxiv.math/0701745,
title = {Revisiting Tietze-Nakajima - Local and Global Convexity for Maps},
author = {Yael Karshon and Christina Bjorndahl},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0701745},
year = {2009}
}