局部非锥凸性
泛函分析
2016-09-07 v1 度量几何
摘要
凸集有一系列结构条件的层次。本文研究最近定义的[3,8,9]称为局部非锥凸性（缩写为LNC）的条件。容易证明每个严格凸集都是LNC，半空间及这两类集合的有限交也是，但还有更多集合是LNC。例如，每个zonoid（非原子向量值测度的值域）是LNC（推论34）。然而，不存在无限维紧LNC集（定理23）。LNC概念起源于对连续截面的寻找，本文展示它如何在多种情形下自然且构造性地导向连续截面。设Q为R^n中的紧凸集，T为从R^n到R^m的线性映射。我们证明（定理1）Q是LNC当且仅当任意此类T在Q上的限制是Q到T(Q)的开映射。这意味着若Q是LNC，则任意此类T有连续截面（即存在T的连续右逆）从T(Q)映射到Q，且事实上可以以多种自然方式构造性定义连续截面（定理3、推论4与定理5）。若Q严格凸且T非单射，我们可构造取值于Q边界的连续截面（定理6）。当我们放弃紧性时，自然地考虑希尔伯特空间X（可为无限维）中闭的凸LNC子集Q。此时我们必须假设T是左Fredholm的，即具有闭值域与有限维核的有界线性映射。我们于是可证明类似于上段提及的结果（定理16-20）。我们也证明T(Q)是LNC（定理25）。
引用
@article{arxiv.math/0005194,
title = {Locally nonconical convexity},
author = {C. A. Akemann and G. C. Shell and N. Weaver},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0005194},
year = {2016}
}
备注
23 pages