无穷柱面及其他乘积空间上薛定谔算子的共振

我们研究无穷乘积 $X=\mathbb{R}^d\times \mathbb{S}^1$ 上薛定谔算子的共振，其中 $d$ 为奇数，$\mathbb{S}^1$ 为单位圆，势 $V\in L^\infty_c(X)$。本文表明，在高能下，$X=\mathbb{R}^d\times \mathbb{S}^1$ 上薛定谔算子 $-\Delta +V$ 邻近连续谱的共振由 $X$ 上 $-\Delta +V_0$ 的共振逼近，其中势 $V_0$ 由 $V$ 在单位圆上平均给出。这些共振转而由 $\mathbb{R}^d$ 上位于有界集中的薛定谔算子的共振给出。若势光滑，我们得到共振改进的定域化，特别是在 $\mathbb{R}^d$ 上相应散射预解式具有简单、秩一极点的情况。该情形下，我们得到相应高能共振位置的首阶修正。除关于共振位置的直接结果外，我们表明在高能远离共振处，$X$ 上模型算子 $-\Delta+V_0$ 的预解式逼近 $X$ 上 $-\Delta+V$ 的预解式。若 $d=1$，某些情形下这意味着波动方程解存在渐近展开。同样针对 $d=1$ 的特殊情形，我们得到零势在所有实值势中的共振刚性型结果。