$su(1,1)$ 流代数的表示与概率视角

我们构建了$su(1,1)$流代数的三种表示：在扩展 Fock 空间中、使用 Gamma 随机测度以及使用负二项（Pascal）点过程。对于第二和第三种表示，降算符和中性算符是测度值分支过程（Dawson-Watanabe 超过程）和空间生灭过程的生成元。真空态是常数函数$1$，反复应用升算符会产生 Laguerre 和 Meixner 多项式。此外，我们证明了一个 Baker-Campbell-Hausdorff 公式，并给出了酉算子$\exp( k^+(\xi) - k^-(\xi))\exp(2 \mathrm i k^0(\theta))$作用于指数向量的显式公式。我们解释了这些表示如何契合 Araki 提出的一般方案，以及如何契合具有 Vershik、Gelfand 和 Graev 乘法测度的$SL(2,\mathbb{R})$流群的表示。