Brauer 范畴的表示与范畴化

我们研究在特征为 $p\neq 2$ 的代数闭域 $K$ 上，与定义参数 $\delta_0$ 的 Brauer 范畴 $\mathcal B(\delta_0)$ 相关联的局部有单位、局部有限维代数 $B$ 的表示。Grothendieck 群 $K_0(B\text{-mod}^\Delta)$ 将被用于范畴化最高权为 $\varpi_{\frac{\delta_0-1}{2}}$ 的可积最高权 $\mathfrak {sl}_{K}$-模 $V(\varpi_{\frac{\delta_0-1}{2}})$，其中 $\varpi_{\frac{\delta_0-1}{2}}$ 为最高权，$B$-mod$^\Delta$ 是 $B$-lfdmod 的一个子范畴，其中每个对象具有有限 $\Delta$-旗，且 $\mathfrak {sl}_{K}$ 根据 $p=0$ 或 $2\nmid p$ 分别为 $\mathfrak{sl}_\infty$ 或 $\hat{\mathfrak{sl}}_p$。作为 $\mathfrak g$-模，$\mathbb C\otimes_{\mathbb Z} K_0(B\text{-mod}^\Delta)$ 同构于 $V(\varpi_{\frac{\delta_0-1}{2}})$，其中 $\mathfrak g$ 是 $\mathfrak {sl}_{K}$ 的李子代数（见定义 4.2）。当 $p=0$ 时，标准 $B$-模与单 $B$-模的投射覆盖分别对应于 $V(\varpi_{\frac{\delta_0-1}{2}})$ 的单项基与所谓的拟典范基。