代数群的表示与主丛

在本次报告中,我们讨论代数群的表示与代数簇上的主丛之间的关系,特别是在特征 $p$ 的情形。我们快速回顾稳定与半稳定向量丛以及主 $G$-丛的概念,其中 $G$ 为任意半单群。我们定义特征 $p$ 中的低高度表示这一概念,并概述如下定理的证明:由半稳定丛经低高度表示诱导出的丛仍是半稳定的。我们包含这一结果在特征 $p$ 中以下几个问题上的应用:1) 曲线上半稳定 $G$-丛的模空间的存在性。2) 曲线上非半稳定主丛的典型抛物子代数的有理性问题。3) Luna 的 etale 切片定理。我们概述 Hashimoto 近期结果的一个应用,用以研究上述(1)中模空间的奇点,以及这些空间从特征 0 正确特化到特征 $p$ 的情形。我们还讨论了 Laszlo-Beauville-Sorger 与 Kumar-Narasimhan 关于这些空间的 Picard 群的结果。这结合 Hara 以及 Srinivas-Mehta 的工作,表明这些模空间在 $p$ 充分大时是 $F$-分裂的。最后我们列出一些开放问题,特别是改进所涉及素数界的问题。