仿射李代数表示、抛物型微分方程与Lame函数

我们考虑环面上Wess-Zumino-Witten模型中插入Cartan元素的关联函数；在数学上，这意味着我们考虑形如 $F=\Tr (\Phi_1 (z_1)\ldots \Phi_n (z_n)q^{-\d}e^{h})$ 的函数，其中 $\Phi_i$ 是仿射李代数 $\ghat$ 上Verma模与求值模之间的交织算子，$\d$ 是Verma模中的分次算子，$h$ 属于 $\g$ 的Cartan子代数。我们推导出此类函数满足的微分方程组。特别地，$q\frac{\d} {\d q} F$ 的计算产生一个抛物型二阶偏微分方程，该方程与对应于 $\g$ 的紧致李群上的热方程密切相关。我们详细考虑 $n=1$、$\g = \sltwo$ 的情形。在此情形下，我们得到如下微分方程（$q=e^{\pi \i \tau}$）：$\left( -2\pi\i (K+2)\frac{\d}{\d\tau} +\frac{\d^2}{\d x^2}\right) F = (m(m+1)\wp(x+\frac{\tau}{2}) +c)F$，当 $K=-2$（临界水平）时，该方程变为Lamé方程。对于 $m\in\Z$ 的情形，我们推导出 $F$ 的积分公式，并找到其当 $K\to -2$ 时的渐近行为，从而恢复经典的Lamé函数。