非完整标架中热算子的李代数

构造了 $2 g$ 个分级热传导算子 $Q_{2k}$（其中 $k = 0,1, \ldots,2 g-1$）系统的李代数，这些算子确定了亏格 $g = 1,2$ 和 $3$ 超椭圆曲线的 sigma 函数 $\sigma(z, \lambda)$。作为推论，发现三个算子 $Q_0, Q_2$ 和 $Q_4$ 的系统已足以确定 sigma 函数。算子 $Q_0$ 为 Euler 算子，且每个算子 $Q_{2k}$（$k>0$）在带有坐标 $\lambda$ 的 $\mathbb{C}^{2g}$ 非完整向量场标架中，确定了关于 $z$ 具有二次势的 $g$ 维 Schr\"odinger 方程。考虑了 Cole--Hopf 变换的类似物。它将热方程线性系统的每个解 $\varphi(z, \lambda)$ 与向量函数 $\nabla \ln \varphi(z, \lambda)$ 的非线性方程组相关联，其中 $\nabla$ 为函数关于 $z$ 的梯度。对于热方程系统的任意解 $\varphi(z, \lambda)$，引入了分次环 $\mathcal{R}_{\varphi}$。它由阶数至少为 $2$ 的函数 $\varphi(z, \lambda)$ 的对数导数生成。明确给出了环 $\mathcal{R}_{\varphi}$ 的导子李代数。展示了该李代数与非线性方程组的相互关联。当 $\varphi(z, \lambda) = \sigma(z, \lambda)$ 时，这导出了构造亏格 $g = 1,2,3$ 超椭圆函数导子李代数的已知结果。