Sigma 函数与薛定谔算子的李代数

在 V. M. Buchstaber 与 D. V. Leikin 的工作中，对任意 $g > 0$ 定义了一组含二次势磁场的 $2g$ 维薛定谔方程系统。这些系统等价于非完整标架中的热方程系统。已证明这样的系统决定了亏格 $g$ 的泛超椭圆曲线的 sigma 函数。引入了一个以 $2g$ 个薛定谔算子 $Q_0, Q_2, \ldots, Q_{4g-2}$ 为生成元的多项式李代数。在本工作中，对任意 $g > 0$ 我们得到了 $Q_0$、$Q_2$、$Q_4$ 的显式表达式，以及 $k>2$ 时 $Q_{2k}$ 的递推公式，将这些算子作为多项式李代数的元素用算子 $Q_0$、$Q_2$ 与 $Q_4$ 的李括号表示。作为应用，我们得到了 $g = 1,2,3,4$ 时算子 $Q_0, Q_2, \ldots, Q_{4g-2}$ 的显式表达式。