顶点代数 $W_{1 + \infty}$ 的表示论

在我们的论文~\cite{KR}中，我们开始对圆上微分算子李代数的泛中心扩张 $\widehat{\Cal D}/$ 的表示进行系统研究。该研究在论文~\cite{FKRW}中于顶点代数理论框架内得到延续。文中证明了与 $\widehat {\Cal D}/$ 相伴的、具有正整数中心荷 $N/$ 的简单顶点代数 $W_{1+ \infty, N}/$ 同构于经典顶点代数 $W (gl_N)$，并由此给出了 $W_{1 + \infty, N}$ 上模的分类。在本文中我们研究剩余的非平凡情形，即负中心荷 $-N$ 的情形。基本工具是 $N/$ 对自由带电玻色子关于 $gl_N/$ 的分解，以及与 $gl_N/$ 对易的无限矩阵李代数 $\widehat{gl}$。