$W_{1+\infty}$ 与 $\widetilde W$ 代数及 Ward 恒等式

最近已证明 $W_{1+\infty}$ 代数包含与所有整数斜率射线(包括竖直射线)相关的交换子代数。本文中,我们认识到此类射线中的每个元素都与一个广义 $\widetilde W$ 代数相关联。特别地,与有理 Calogero 哈密顿量相关的最简单交换子代数,正与此前研究过的 $\widetilde W$ 代数相关联。我们基于 $W_{1+\infty}$ 代数的矩阵实现,提出将广义 $\widetilde W$ 代数定义为变量 $p_k$ 上的微分算子,并给出一个明确的递归定义;然而该定义涉及比其交换子代数所含更多的 $W_{1+\infty}$ 代数元素。正整数射线与构成 WLZZ 矩阵模型 Ward 恒等式集合的 $\widetilde W$ 代数相关联,而与三角 Calogero-Sutherland 模型相关的竖直射线则描述了对应于补全循环(completed cycles)的超几何 $\tau$-函数。