常曲率空间形的表示等价性与 $p$-谱

我们研究常曲率局部对称空间 $\Gamma\backslash X$ 的 $p$-谱，将其与 $X$ 的全等距群 $G$ 在 $L^2(\Gamma\backslash G)_{\tau_p}$ 上的右正则表示相联系，其中 $\tau_p$ 是 $\mathrm{O}(n)$ 在 $\bigwedge^p(\mathbb{R}^n)_\mathbb{C}$ 上的复化 $p$-外表示。我们用 $G$ 的特定不可约酉表示的重数 $n_\Gamma(\pi)$ 给出了 $p$-Hodge-Laplace 算子特征值的重数 $d_\lambda(p,\Gamma)$ 的表达式。作为推论，我们将 Pesce 关于函数谱的结果推广到 $\Gamma\backslash X$ 上 $p$-形式的 Hodge-Laplace 算子的 $p$-谱，并比较了 $0\leq p\leq n$ 时的 $p$-等谱性与 $\tau_p$-等价性。对于球面空间形，我们证明了一类包含 $\tau=\tau_p$ 情形的 $\tau$ 的 $\tau$-等谱性蕴含 $\tau$-等价性。此外，我们证明了 $p-1$ 和 $p+1$-等谱性蕴含 $p$-等谱性。对于非正曲率空间形，我们给出的例子表明 $p$-等谱性远不能蕴含 $\tau_p$-等价性，但 Pesce 结果的一个变体仍然成立。即对于每个固定的 $p$，对所有 $0\leq q\leq p$ 的 $q$-等谱性蕴含对所有 $0\leq q\leq p$ 的 $\tau_q$-等价性。作为方法的副产品，我们获得了若干关于 $p$-等谱性与 $\tau_p$-等价性关系的结果。