p-框架能量的重复极小元

对于一组 $N$ 个单位向量 $\mathbf{X}=\{x_i\}_{i=1}^N$，定义 $\mathbf{X}$ 的 $p$-框架能量为量 $\sum_{i\neq j} |\langle x_i,x_j \rangle|^p$。在本文中，我们将该值的极小化问题联系到另一个优化问题，从而给出此类能量的新下界。特别地，对于 $p<2$，我们证明该能量至少为 $2(N-d) p^{-\frac p 2} (2-p)^{\frac {p-2} 2}$，该下界在 $d\leq N\leq 2d$ 且 $p=1$ 时为紧的。我们证明对于 $1\leq m<d$，由 $N=d+m$ 个向量构成的重复正交基构造在区间 $p\in[1,p_m]$ 上极小化该能量，并给出 $d=2$ 时对所有 $N$ 的类似结果。最后，作为关联，我们给出关于这些能量及其他能量的猜想。