平面中第 p 阶框架势极小元的相变

给定单位圆上的 $N$ 个点 $X=\{x_k\}_{k=1}^N$ 以及数 $0\leq p \leq \infty$，我们研究泛函 $\sum_{k, \ell =1}^N |\langle x_k, x_\ell\rangle|^p$ 的极小元。虽然已知这些极小元均为 $\mathbb{R}^2$ 的生成集，但关于其数量作为 $p$ 与 $N$ 的函数却所知甚少，尤其对于相对较小的 $p$。本文我们证明该泛函对所有 $p\leq \log 3/\log 2$ 以及所有奇数 $N\geq 3$ 存在唯一极小元。此外，我们给出若干数值结果，提示这些极小元中相变现象的出现。更具体地，对奇数 $N\geq 3$，存在点数列 $\log 3/\log 2=p_1< p_2< \cdots < p_N\leq 2$，使得在每个子区间 $(p_k, p_{k+1})$ 上存在唯一（模某些等距变换）的极小元。