三点能量的优化器与近正交集

本文致力于研究优化三点能量的球面测度与点构型。我们的主要目标是将基于点对间距离的经典的优化问题推广到三点势的语境中。特别地，我们研究了球面堆积问题的三点类比，以及基于三点的 $p$-frame 能量的优化问题。结果表明，这两个问题都与 Erdős 的近正交集问题有内在联系。作为结果，我们从三点堆积的视角为 Erdős 问题提供了一个新解。我们还证明了在所有维度上，当 $0<p<1$ 时正交基唯一地最小化 $p$-frame 三点能量。论证中使用了半定规划中所采用的基于经典 Gegenbauer 多项式的多元多项式。对于 $p=1$，我们在圆上完全解决了类似问题。对于更高维度，我们证明了在 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上测度的最小化子的 Hausdorff 维数不大于 $d-2$。作为证明的主要要素，我们证明了唯一没有钝角的各向同性测度是正交基上的均匀分布。