数据流高阶矩估计的下界

我们给出了在数据流场景下，对于 $p>2$ 的 $F_p$ 估计问题的一个改进下界。数据流是来自域 $[n]$ 且可能存在重复的项序列。频率向量 $x$ 是一个 $n$ 维非负整数向量，其中 $x(i)$ 是项 $i$ 在序列中出现的次数。给定精度参数 $\Omega(n^{-1/p}) < \epsilon < 1$，估计 $F_p$ 的问题是在在线方式下，以高常数概率，在 $1\pm \epsilon$ 的相对精度内正确估计 $\norm{x}_p^p = \sum_{i \in [n]} \abs{x(i)}^p$，并尽可能使用少的空间。当前该问题的空间下界为 $\Omega(n^{1-2/p} \epsilon^{-2/p}+ n^{1-2/p}\epsilon^{-4/p}/ \log^{O(1)}(n)+ (\epsilon^{-2} + \log (n)))$。下界表达式中的第一项在 \cite{B-YJKS:stoc02,cks:ccc03} 中证明，第二项在 \cite{wz:arxiv11} 中证明，第三项在 \cite{wood:soda04} 中证明。在本笔记中，我们展示了一个 $\Omega(p^2 n^{1-2/p} \epsilon^{-2}/\log (n))$ 比特的空间下界，适用于 $\Omega(pn^{-1/p}) \le \epsilon \le 1/10$。